广东省河源市连平县忠信中学2018届高三级十月考数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1已知直线l1:x+ay+1=0与直线l2:x－2y+2=0垂直，则a的值为
A2 B－2
C－1 2 D1 22函数y=sin（
?x+θ2
）cos（
?x+θ2
）在x=2时有最大值，则θ的一个值是
A? 4 B? 2 C2? 3 D3? 43已知直二面角α—l—β，A∈α，B∈β，AB⊥l，AB=6，则线段AB的中点到l的距离为
A1 B2 C3 D不能确定 4已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为 A25 B50 C100 D不存在 5设函数f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，若f（2）=1，f（1）=a，则 Aa=2 Ba=－2 Ca=1 Da=－1 6已知一个简单多面体的各个面都是三角形，则顶点数V与面数F满足的关系是 A2V+F=4 B2V－F=4 C2V+F=2 D2V－F=2
7若函数y=sin（x+
?）+2的图象按向量a平移后得到函数y=sinx的图象，则a等于 3
B（A（－?，－2） 3?，2） 3?3?3，2）
C（－ D（，－2）
86名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是
A1 12 B1 2 C1 6 D1 39如果直线ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点（a，b）和圆C的位置关系是
A在圆外 B在圆上 C在圆内 D不能确定 10函数f（x）=|ax2+bx+c|（a≠0）的定义域分成四个单调区间的充要条件是
Aa>0且b2－4ac>0
B－b>0 2a
Cb2－4ac>0
D－b<0 2a11如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为
A2 6 B2 4C17 17 D17 x22
12已知椭圆2+y=1（a>1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点,且∠F1PF2=60°，
a则|PF1|·|PF2|的值为
A1
1B 3
4C 3
2D 3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上） 13若（3a+b）n的展开式的系数和等于（x+y）8的展开式的系数和，则n=______ 14过曲线y=x3－x上点（1，0）的切线方程的一般式是______ 15已知函数f（x）=2sinωx（ω>0）在［0，
?3］上单调递增，则ω的取值范围是______ 16对于任意定义在R上的函数f（x），若存在x0∈R满足f（x0）=x0，则称x0是函数 f（x）的一个不动点若函数f（x）=x2+ax+1没有不动点，则实数a的取值范围是______ 三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分12分）甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为06，乙投篮的命中率为07，两人是否投中相互之间没有影响，求：
（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；
（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率 18（本小题满分12分）已知函数f（x）=log2（x+m），且f（0）、f（2）、f（6）成等差数列 （1）求实数m的值；
（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论 19（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且
4sin2B?C7?cos2A?， 22（1）求角A的度数； （2）若a=
3，b+c=3，求b和c的值
20（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，过BC1的平面BC1D∥AB1，平面BC1D交AC于D （1）求证BD⊥平面ACC1A1；
（2）若二面角C1—BD—C等于60°，求平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小（结果用反三角函数表示）
21（本小题满分12分）如图，点F（a，0）（a>0），点P在y轴上
运动，M在x轴上，N为动点，且PM?PF?0,PN?PM?0 （1）求点N的轨迹C的方程；
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点K（－a，0），KA与KB的夹角为θ，求证：0<θ<
?2 22（本小题满分14分）已知a≥
1，f（x）=－a2x2+ax+c 2（1）证明对任意x∈［0，1］，f（x）≤1的充要条件是c≤
3; 4（2）已知关于x的二次方程f（x）=0有两个实根α、β，证明：|α|≤1且|β|≤1的充要条件是c≤a2－a
忠信中学2018届高三级十月考数学试题答案
一、1D 2A 3C 4A 5D 6B 7D 8B 9A 10C 11C 12C 二、134 142x－y－2=0 15（0，
3] 16（－1，3） 2三、17（1）P1=06（1－07）+（1－06）07=046 6分
（2）P2=［C206（1－06）］·［C2（07）2（1－07）0］=02352 12分
1218（1）由f（0）、f（2）、f（6）成等差数列， 可得2log2（2+m）=log2m+log2（6+m），
即（m+2）2=m（m+6）且m>0，解得m=2 6分 （2）由f（x）=log2（x+2），可得2f（b）=2log2（b+2）=log2（b+2）2， f（a）+f（c）=log2（a+2）+log2（c+2）=log2［（a+2）（c+2）］， 8分 ∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac， 9分 又a、b、c是两两不相等的正数，
故（a+2）（c+2）=ac+2（a+c）+4>ac+4
ac+4=b2+4b+4=（b+2）2，
7， 2分 210分
∴log2［（a+2）（c+2）］>log2（b+2）2，即f（a）+f（c）>2f（b） 19（1）由已知得2［1－cos（B+C）］－（2cos2A－1）=
12分
∵cos（B+C）=－cosA， ∴4cos2A－4cosA+1=0，
3分
∴（2cosA－1）2=0，即cosA=1 25分
∴A=60° 6分
（2）∵a2=b2+c2－2bccosA=b2+c2－bc=（b+c）2－3bc，
∵a=
3，b+c=3，
8分
∴3=9－3bc，∴bc=2， 10分
?b?c?3,?b?2?b?1由?解之得?或? 12分
bc?2,c?1c?2???20（1）连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO， ∵AB1∥平面BC1D，AB1?平面AB1C， 平面AB1C∩平面BC1D=DO， ∴AB1∥DO，3分 ∴D是AC的中点，
∵△ABC是正三角形，∴BD⊥AC， ∵平面ACC1A1⊥平面ABC， ∴BD⊥平面ACC1A1 6分
（2）∵CC1⊥平面ABC，且CD⊥BD，
∴C1D⊥BD，
∴∠C1DC是二面角C1—BD—C的平面角， 8分 ∴∠C1DC=60°，
设正三棱柱底边长为2，则DC=1，CC1=
3，
作DE⊥BC于E，
∵平面BCC1B1⊥平面ABC， ∴DE⊥平面BCC1B1，
作EF⊥BC1于F，连结DF，则DF⊥BC1，
∴∠DFE是平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的平面角， 在Rt△DFE中，DE=
10分
3， 23333??， 2727在Rt△DFE中，EF=BE·sinC1BC=
∴tanDFE=
DE3277???， EF2333∴平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小为arctan21（1）（方法一）设N（x，y），∵PN7 312分
?PM=0，即P是MN的中点，
∴M（－x，0），P（0，
y）， 2分 2∵PM?PF=0，∴PM⊥PF， 4分
yy∴2?2=－1， x?a∴y2=4ax即为所求 6分 （方法二）设N（x，y），M（x0，0），P（0，y0）
则PM?(x0,?y0),PF?(a,?y0),PN?(x,y?y0).
①
4分
2分
由PM·PF=0，得ax0+y18=0，
由PN+PM=0，得（x+x0，y－2y0）=0，